[Đề 123] - Đề tổng hợp - Giải tích 2 · 28 câu
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho $f(x, y) = -4x^2 - 7xy + y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 2.Cho $f(x, y) = -x^2 + 9xy - 4y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 3.Cho $f(x, y) = -x^2 + xy - 5y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 4.Cho $f(x, y) = -4x^2 - 7xy + y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 5.Cho $f(x, y) = -4x^2 - 7xy + y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 6.Cho $f(x, y) = -7x^2 - 7xy - 6y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 7.Cho $f(x, y) = -7x + 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = 6$, $dy = -3$.
Câu 8.Tính tích phân đường $\int_C 9 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(8, 0)$.
Câu 9.Phép đổi biến $u = -x - 4y$, $v = 3x + 8y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 10.Cho $f(x, y) = 3x + 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 11.Cho $f(x, y) = -7x - 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 12.Cho $f(x, y) = 2x - 3y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{5}{13}, \dfrac{12}{13})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 13.Cho $f(x, y) = -8x - 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 14.Cho $f(x, y) = 6x + 7y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 15.Cho $f(x, y) = 3x + 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 16.Cho $f(x, y) = -8x - 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 17.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(7, 6)$.
Câu 18.Cho $f(x, y) = 3x^2 - 3xy + 4y^2 + 3x + 8y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-7, 7)$.
Câu 19.Tính $\iint_D (5 + 2x + 6y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 8]$.
Câu 20.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 6$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Một lực hằng $\vec F = (-4,-6)$ tác dụng trên chất điểm di chuyển theo đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(5,2)$. Tính công $W = \int_C \vec F \cdot d\vec r$.
Câu 22.Tính $I = \iint_D dA$ với $D = \{(x, y): x^2 + y^2 \le 6561\}$ bằng cách đổi sang tọa độ cực.
Câu 23.Tính $\int_C -7 \, ds$ trên đoạn từ $(0,0)$ đến $(3,0)$.
Câu 24.$f(x, y) = 10x - 10y$, hướng $\vec u = (4/5, 3/5)$. Tính $D_{\vec u} f$.
Câu 25.Cho $C$ là chu vi hình chữ nhật $[0,7] \times [0,4]$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Dùng định lý Green tính diện tích $A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$.
Câu 26.Một tấm phẳng chiếm miền $D = [0, 4] \times [0, 3]$ có mật độ khối lượng $\rho(x, y) = 6 x$. Tính khối lượng $M = \iint_D \rho\,dA$.
Câu 27.Cho $f(x, y) = 7x^2 + 6xy -7y^2 -6x -6y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial y}(-2, 7)$.
Câu 28.Tính $\iint_D x y \, dA$ với $D = [0, 8] \times [0, 10]$.