[Đề 123] - Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính · 28 câu
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (7, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 2.Cho $\vec u = (9, -7, 6)$ và $\vec v = (-1, -8, -9)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 3.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-6, -5)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 4.Cho $\vec u = (-1, 2, 7)$ và $\vec v = (-9, 5, -2)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 5.Cho $\vec u = (-2, 0, -6)$ và $\vec v = (3, 6, -5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 6.Cho $\vec u = (-8, -7, -7)$ và $\vec v = (2, -4, 0)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 7.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-6, -8)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 8.Tính chuẩn Euclid của vector $\vec v = (10, 15, 30)$.
Câu 9.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 5x + 5y = 0 \\ -8x + 7y = -15 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 10.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -1 & 7 & 2 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$.
Câu 11.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 12.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} 9 & -7 & 6 \\ -1 & -8 & -9 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của $A^T$.
Câu 13.Cho $A = \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 14.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -8 & -6 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 15.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Câu 16.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$.
Câu 17.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$ với $\det A = -1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 18.Cho $\vec u = (-6, 7, 0)$, $\vec v = (-7, -8, -4)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 19.Giải hệ $\begin{cases} x_1 + 3x_3 = -1 \\ 4x_2 - x_3 = -25 \\ 4x_3 = 4 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 20.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -8 & -9 \\ -5 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của tích $AB$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.$A = \begin{pmatrix} -8 & -7 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}, \vec v = (-4, 0)$. Tính phần tử thứ $2$ của $A \vec v$.
Câu 22.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -7 & -1 \\ -6 & 6 & 5 \\ 6 & 3 & -3 \end{pmatrix}$ và $k = -5$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của $kA$.
Câu 23.Giải hệ $\begin{cases} 3x_1 - 7x_2 - 5x_3 = 31 \\ x_2 + 3x_3 = -17 \\ 4x_3 = -28 \end{cases}$. Tính $x_3$.
Câu 24.Cho $A = \begin{pmatrix} -6 & -4 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$. Viết đa thức đặc trưng $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ dưới dạng đa thức bậc 2 theo $\lambda$ (hệ số cao nhất bằng 1).
Câu 25.Cho $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$ (det = 1). Tính phần tử ở hàng 2, cột 1 của $A^{-1}$.
Câu 26.Cho hai vector $\vec u = (4, -4, 2)$, $\vec v = (-1, -5, -5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 27.Tính $\det \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ bằng khai triển theo cột 1 (cột có nhiều phần tử bằng 0).
Câu 28.Tính hạng (rank) của ma trận hệ số $A = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 6 \\ 6 & -5 & -2 \\ -5 & 1 & 6 \end{pmatrix}$ của một hệ phương trình.