[Đề 119] - Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính · 28 câu
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Vector $\vec v = (1, -12, -12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 2.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$.
Câu 3.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 4.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 5.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}$.
Câu 6.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 7.Vector $\vec v = (0, -5, 12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 8.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & -5 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A^T$.
Câu 9.Cho $\vec u = (-4, -6, 0)$, $\vec v = (-5, 7, 6)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 10.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -6 & 7 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-8, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 11.Cho $A = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 7 & -7 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 12.Cho $\vec u = (-2, 9, 8)$ và $\vec v = (-5, 2, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 13.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$.
Câu 14.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & -7 & -7 \\ 0 & 8 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 15.Giải hệ $\begin{cases} x_1 + 3x_3 = -1 \\ 4x_2 - x_3 = -25 \\ 4x_3 = 4 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 16.Cho $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 7 & -9 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -8 & -4 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của tích $AB$.
Câu 17.Giải hệ $\begin{cases} 4x_1 + 7x_2 + 6x_3 = -8 \\ x_2 = -4 \\ x_3 = 4 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 18.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 4x - 7y = 11 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 19.Cho $A = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 20.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho ma trận vuông $A$ cấp $3$ có $\det A = 21$. Gọi $A'$ là ma trận thu được từ $A$ bằng cách đổi chỗ hàng $3$ và hàng $1$. Tính $\det A'$.
Câu 22.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx + 7y = 0 \\ 7x - 7y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).
Câu 23.$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}, \vec v = (6, -5)$. Tính phần tử thứ $1$ của $A \vec v$.
Câu 24.Cho $A = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Viết đa thức đặc trưng $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ dưới dạng đa thức bậc 2 theo $\lambda$ (hệ số cao nhất bằng 1).
Câu 25.Tính rank$(A)$ với $A = \begin{pmatrix} -7 & 6 & 1 \\ 0 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Câu 26.Cho ma trận $A(m) = \begin{pmatrix} m & -4 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}$ với tham số $m$. Tính $\det A(m)$ (dưới dạng biểu thức theo $m$).
Câu 27.Cho hệ $\begin{cases} x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 2 \\ -4x_1 - 3x_2 + 4x_3 = -3 \\ -3x_1 + x_2 - 4x_3 = -6 \end{cases}$. Tìm $x_1$ theo quy tắc Cramer (phân số tối giản).
Câu 28.Cho hai vector $\vec u = (-3, 4, -4)$, $\vec v = (-1, -4, 2)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).