[Đề 113] - Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & -7 & -7 \\ 0 & 8 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 2.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 3.Cho $\vec u = (-5, 9, -7)$ và $\vec v = (-1, -6, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 4.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 5.Vector $\vec v = (0, -5, 12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 6.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$.
Câu 7.Cho $\vec u = (-2, 9, 8)$ và $\vec v = (-5, 2, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 8.Cho $\vec u = (-4, -6, 0)$, $\vec v = (-5, 7, 6)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 9.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -6 & 7 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-8, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 10.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 \\ -8 & -7 & 8 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của $A^T$.
Câu 11.Cho $A = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 7 & -7 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 12.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -1 & 7 & 2 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$.
Câu 13.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$.
Câu 14.Vector $\vec v = (1, -12, -12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 15.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 16.Giải hệ $\begin{cases} 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = -15 \\ 2x_2 - 4x_3 = 12 \\ 3x_3 = -18 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 17.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 4x - 7y = 11 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 18.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Câu 19.Cho $A = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 20.Cho $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -7 & -7 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của tích $AB$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho $\vec u = (0, -6, 2)$, $\vec v = (10, -9, -8)$. Tính $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 22.Tính $\det \begin{pmatrix} -7 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$.
Câu 23.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx + 7y = 0 \\ 7x - 7y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).
Câu 24.Cho $A = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ với trị riêng $\lambda = -3$. Tìm tỷ số $\dfrac{x}{y}$ của vector riêng $\vec v = (x, y)$ ứng với $\lambda$.
Câu 25.Cho hai ma trận $A = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -9 & -10 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$. Hãy tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của tích $AB$.
Câu 26.Cho hai vector $\vec u = (-5, -4, -4)$, $\vec v = (0, -3, 5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 27.Cho hệ $\begin{cases} -x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -2 \\ 4x_1 - x_2 + x_3 = -6 \\ -x_1 - x_2 + 3x_3 = 0 \end{cases}$. Tìm $x_3$ theo quy tắc Cramer (phân số tối giản).
Câu 28.Tính $\det \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -6 & -6 & -2 \\ 6 & -5 & 4 \end{pmatrix}$.