[Đề 116] - Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính · 28 câu
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 2.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$.
Câu 3.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 4.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 5.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$.
Câu 6.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -1 & -8 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.
Câu 7.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$ với $\det A = -1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 8.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -7 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-3, 1)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 9.Cho $\vec u = (1, -5, 3)$ và $\vec v = (-8, -7, 8)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 10.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 3 & 3 & -7 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$.
Câu 11.Tính chuẩn Euclid của vector $\vec v = (5, 0, 12)$.
Câu 12.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$.
Câu 13.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 9 & -7 \\ -1 & -6 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^T$.
Câu 14.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 15.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$.
Câu 16.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -8 & -9 \\ -5 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của tích $AB$.
Câu 17.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Câu 18.Cho $\vec u = (-1, 1, -5)$, $\vec v = (4, 7, -4)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 19.Giải hệ $\begin{cases} x_1 + 3x_3 = -1 \\ 4x_2 - x_3 = -25 \\ 4x_3 = 4 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 20.Giải hệ phương trình $\begin{cases} -6x + 7y = 20 \\ -7y = 28 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Giải hệ $\begin{cases} x_1 - 6x_2 = -41 \\ 3x_2 + 5x_3 = -1 \\ 5x_3 = -25 \end{cases}$. Tính $x_3$.
Câu 22.Cho ma trận vuông $A$ cấp $3$ có $\det A = -15$. Gọi $A'$ là ma trận thu được từ $A$ bằng cách đổi chỗ hàng $3$ và hàng $1$. Tính $\det A'$.
Câu 23.$A = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 8 & -5 \end{pmatrix}, \vec v = (2, 6)$. Tính phần tử thứ $1$ của $A \vec v$.
Câu 24.Tính rank$(A)$ với $A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}$.
Câu 25.Cho ma trận $A(m) = \begin{pmatrix} m & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ với tham số $m$. Tính $\det A(m)$ (dưới dạng biểu thức theo $m$).
Câu 26.$\vec u = (-1, 2, 7), \vec v = (-9, 5, -2)$. Tính phần tử thứ $3$ của $\vec u \times \vec v$.
Câu 27.Cho $A = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Tìm các trị riêng của $A$ (đáp số dưới dạng $\dfrac{a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$).
Câu 28.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx + 3y = 0 \\ -3x + 5y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).