[Đề 121] - Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính · 28 câu
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho $A = \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 2.Cho $A = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -9 & -10 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A - B$.
Câu 3.Cho $A = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -5 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 4.Cho $A = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -5 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 5.Cho $A = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -8 & -8 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A + B$.
Câu 6.Cho $A = \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 7.Vector $\vec v = (0, -5, 12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 8.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 8 & -8 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (6, -1)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 9.Cho $A = \begin{pmatrix} -8 & -7 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của tích $AB$.
Câu 10.Cho $\vec u = (1, -5, 3)$ và $\vec v = (-8, -7, 8)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 11.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 12.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 3 & 3 & -7 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$.
Câu 13.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}$.
Câu 14.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 9 & -7 \\ -1 & -6 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^T$.
Câu 15.Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 5y = 25 \\ x + 6y = 29 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 16.Giải hệ phương trình $\begin{cases} -7x - 6y = 9 \\ -6x + 4y = 26 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 17.Cho $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 18.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$.
Câu 19.Cho $\vec u = (0, 3, 8)$, $\vec v = (-8, 6, -1)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 20.Giải hệ $\begin{cases} 4x_1 - 6x_2 - 6x_3 = 14 \\ 4x_2 - 7x_3 = 43 \\ 2x_3 = -10 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Tính $\det \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$.
Câu 22.Tính $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{2} A_{ii}$ với $A = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$.
Câu 23.Giải hệ $\begin{cases} 3x + 4y = -30 \\ -x + 6y = -12 \end{cases}$. Tính $y$.
Câu 24.Cho $A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ với trị riêng $\lambda = 3$. Tìm tỷ số $\dfrac{x}{y}$ của vector riêng $\vec v = (x, y)$ ứng với $\lambda$.
Câu 25.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ (det = 1). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^{-1}$.
Câu 26.Cho hai vector $\vec u = (-5, -4, -4)$, $\vec v = (0, -3, 5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 27.Tính $\det \begin{pmatrix} -5 & 2 & 6 \\ 5 & 5 & -6 \\ -3 & -6 & 0 \end{pmatrix}$.
Câu 28.Cho hệ $\begin{cases} 4x_1 - 3x_2 - x_3 = -4 \\ -4x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \\ -2x_2 + 2x_3 = 6 \end{cases}$. Tìm $x_1$ theo quy tắc Cramer (phân số tối giản).