[Đề 114] - Đề tổng hợp - Giải tích 2
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho $f(x, y) = -4x^2 - 7xy + y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 2.Cho $f(x, y) = 7x^2 + 6xy -7y^2 -6x -6y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-2, 7)$.
Câu 3.Tính tích phân đường $\int_C -6 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(6, 0)$.
Câu 4.Phép đổi biến $u = -x + y$, $v = -5x + 5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 5.Cho $f(x, y) = -2x + 9y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -5$, $dy = -2$.
Câu 6.Tính tích phân đường $\int_C -3 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(4, 0)$.
Câu 7.Cho $f(x, y) = 3x^2 - 5xy + 5y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 8.Cho $f(x, y) = 2x - 5y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -1$, $dy = 4$.
Câu 9.Phép đổi biến $u = 3x - 4y$, $v = 4x - 7y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 10.Tính tích phân đường $\int_C 10 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(4, 0)$.
Câu 11.Cho $f(x, y) = -4x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(2, -5)$.
Câu 12.Tính tích phân đường $\int_C -3 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(6, 0)$.
Câu 13.Cho $f(x, y) = 2x - 3y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{5}{13}, \dfrac{12}{13})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 14.Cho $f(x, y) = -8x - 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -6$, $dy = -2$.
Câu 15.Cho $f(x, y) = 6x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(7, -6)$.
Câu 16.Cho $f(x, y) = -4x^2 - 3y^2$. Tính $\nabla f(-6, 5)$.
Câu 17.Tính $\iint_D (-4 - 3x - 6y) \, dA$ với $D = [0, 8] \times [0, 8]$.
Câu 18.Cho $f(x, y) = 6x + 7y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 19.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 2xy + 6y^2 -6x$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-6, 1)$.
Câu 20.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 6$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Một lực hằng $\vec F = (-7,-6)$ tác dụng trên chất điểm di chuyển theo đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(2,6)$. Tính công $W = \int_C \vec F \cdot d\vec r$.
Câu 22.Một tấm phẳng chiếm miền $D = [0, 6] \times [0, 4]$ có mật độ khối lượng $\rho(x, y) = 8 x$. Tính khối lượng $M = \iint_D \rho\,dA$.
Câu 23.Tính $I = \iint_D dA$ với $D = \{(x, y): x^2 + y^2 \le 361\}$ bằng cách đổi sang tọa độ cực.
Câu 24.Tính $\iint_D x y \, dA$ với $D = [0, 6] \times [0, 20]$.
Câu 25.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 2xy + 7y^2 -6x$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial y}(-6, 1)$.
Câu 26.$f(x,y) = -4x^2 + 3y^2$. Tính $\|\nabla f(2, -5)\|^2$.
Câu 27.Cho $C$ là chu vi hình chữ nhật $[0,11] \times [0,6]$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Dùng định lý Green tính diện tích $A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$.
Câu 28.$f(x, y) = 9x + 8y$, hướng $\vec u = (4/5, 3/5)$. Tính $D_{\vec u} f$.