[Đề 113] - Đề tổng hợp - Giải tích 2

Câu 1.Cho $f(x, y) = -8x - 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -6$, $dy = -2$.

Câu 2.Cho $f(x, y) = 3x^2 - 3xy + 4y^2 + 3x + 8y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-7, 7)$.

Câu 3.Cho $f(x, y) = 6x^2 + 2xy + 6y^2 -6x + 7y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(6, -3)$.

Câu 4.Phép đổi biến $u = -6x + 7y$, $v = -7y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 5.Cho $f(x, y) = -7x^2 - 7xy - 6y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

Câu 6.Cho $f(x, y) = 2x - 5y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -1$, $dy = 4$.

Câu 7.Phép đổi biến $u = -x + y$, $v = -5x + 5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 8.Tính tích phân đường $\int_C -3 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(4, 0)$.

Câu 9.Cho $f(x, y) = -x^2 + 9xy - 4y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

Câu 10.Cho $f(x, y) = -8x - 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.

Câu 11.Tính $\iint_D (-5 + 2x + 6y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 6]$.

Câu 12.Cho $f(x, y) = -2x^2 - 5xy -y^2 -7x -6y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(7, 2)$.

Câu 13.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 6)^2 + (y - 8)^2 - 1$.

Câu 14.Phép đổi biến $u = x + 3y$, $v = 8x - 8y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 15.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 2xy + 6y^2 -6x$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-6, 1)$.

Câu 16.Cho $f(x, y) = -5x + y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{5}{13}, \dfrac{12}{13})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.

Câu 17.Tính $\iint_D (6 + 6x - 7y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 2]$.

Câu 18.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(7, 6)$.

Câu 19.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 4)^2 + (y + 6)^2 - 1$.

Câu 20.Cho $f(x, y) = -4x^2 + 2xy + y^2 -4x + 3y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(3, 1)$.

Câu 21.Tính $\int_C -4 \, ds$ trên đoạn từ $(0,0)$ đến $(3,0)$.

Câu 22.Tính $I = \iint_D x^2\,dA$ với $D = [0, 9] \times [0, 20]$.

Câu 23.Một tấm phẳng chiếm miền $D = [0, 4] \times [0, 10]$ có mật độ khối lượng $\rho(x, y) = 4 x$. Tính khối lượng $M = \iint_D \rho\,dA$.

Câu 24.Cho $C$ là chu vi hình chữ nhật $[0,4] \times [0,11]$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Dùng định lý Green tính diện tích $A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$.

Câu 25.Cho $f(x, y) = -4x^2 + 2xy + 2y^2 -4x + 3y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial y}(3, 1)$.

Câu 26.$f(x, y) = 10x - 10y$, hướng $\vec u = (4/5, 3/5)$. Tính $D_{\vec u} f$.

Câu 27.Tính $\iint_D x y \, dA$ với $D = [0, 6] \times [0, 20]$.

Câu 28.$f(x,y) = 6x^2 + 3y^2$. Tính $\|\nabla f(7, -6)\|^2$.