Đề tổng hợp - Giải tích 2 - đề 014 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho $f(x, y) = -x + 3y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = 6$, $dy = 5$.
Câu 2.Phép đổi biến $u = -4x - 6y$, $v = -5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 3.Tính tích phân đường $\int_C 9 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(8, 0)$.
Câu 4.Cho $f(x, y) = -8x - 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -6$, $dy = -2$.
Câu 5.Phép đổi biến $u = -6x + 7y$, $v = -7y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 6.Cho $f(x, y) = -5x - 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -3$, $dy = -6$.
Câu 7.Cho $f(x, y) = 3x^2 - 5xy + 5y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 8.Phép đổi biến $u = 3x - 4y$, $v = 4x - 7y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 9.Tính tích phân đường $\int_C -6 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(6, 0)$.
Câu 10.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 7)^2 + (y + 6)^2 - 7$.
Câu 11.Tính $\iint_D (-5 + 2x + 6y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 6]$.
Câu 12.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(7, 6)$.
Câu 13.Cho $f(x, y) = 6x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(7, -6)$.
Câu 14.Cho $f(x, y) = -7x^2 - 7xy - 6y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 15.Tính tích phân đường $\int_C -3 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(4, 0)$.
Câu 16.Tính $\iint_D (-2 - 5x - y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 2]$.
Câu 17.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x - 3)^2 + (y + 4)^2 + 3$.
Câu 18.Cho $f(x, y) = -5x + y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{5}{13}, \dfrac{12}{13})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 19.Cho $f(x, y) = 3x^2 - 3y^2$. Tính $\nabla f(5, -2)$.
Câu 20.Cho $f(x, y) = -5x^2 + 2xy + 6y^2 -6x$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-6, 1)$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho $f(x, y) = -2x^2 + xy -6y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.
Câu 22.Tính $I = \iint_D dA$ với $D = \{(x, y): x^2 + y^2 \le 361\}$ bằng cách đổi sang tọa độ cực.
Câu 23.Tính thể tích vật thể giới hạn bởi $0 \le z \le 9$ trên miền $D = [0, 11] \times [0, 3]$ bằng $V = \iint_D z\,dA$.
Câu 24.Một tấm phẳng chiếm miền $D = [0, 10] \times [0, 6]$ có mật độ khối lượng $\rho(x, y) = 7 x$. Tính khối lượng $M = \iint_D \rho\,dA$.
Câu 25.Cho $C$ là chu vi hình chữ nhật $[0,4] \times [0,11]$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Dùng định lý Green tính diện tích $A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$.
Câu 26.Cho $f(x, y) = -4x^2 + 2xy + 2y^2 -4x + 3y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial y}(3, 1)$.
Câu 27.$f(x,y) = -5x^2 + 3y^2$. Tính $\|\nabla f(7, 6)\|^2$.
Câu 28.$f(x, y) = -x - 7y$, hướng $\vec u = (4/5, 3/5)$. Tính $D_{\vec u} f$.