Đề tổng hợp - Giải tích 2 - đề 009 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho $f(x, y) = x^2 + 3xy - 8y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 2.Cho $f(x, y) = 3x^2 - 5xy + 5y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 3.Cho $f(x, y) = -2x + 9y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -5$, $dy = -2$.
Câu 4.Phép đổi biến $u = -4x - 6y$, $v = -5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 5.Cho $f(x, y) = 2x - 5y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -1$, $dy = 4$.
Câu 6.Cho $f(x, y) = -6x^2 + 7xy + y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 7.Tính tích phân đường $\int_C -9 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(2, 0)$.
Câu 8.Cho $f(x, y) = -8x - 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -6$, $dy = -2$.
Câu 9.Phép đổi biến $u = -x - 4y$, $v = 3x + 8y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 10.Cho $f(x, y) = -x^2 + xy - 5y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
Câu 11.Tính $\iint_D (-5 + 2x + 6y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 6]$.
Câu 12.Cho $f(x, y) = -2x^2 - 5y^2$. Tính $\nabla f(-1, 4)$.
Câu 13.Tính tích phân đường $\int_C -6 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(6, 0)$.
Câu 14.Phép đổi biến $u = -x + y$, $v = -5x + 5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 15.Phép đổi biến $u = 3x - 4y$, $v = 4x - 7y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.
Câu 16.Cho $f(x, y) = 6x^2 + 2xy + 6y^2 -6x + 7y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(6, -3)$.
Câu 17.Cho $f(x, y) = 7x^2 + 7y^2$. Tính $\nabla f(-7, -6)$.
Câu 18.Tính $\iint_D (-5 + 2x + 6y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 6]$.
Câu 19.Cho $f(x, y) = -8x - 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.
Câu 20.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + 7$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Tính $I = \iint_D dA$ với $D = \{(x, y): x^2 + y^2 \le 361\}$ bằng cách đổi sang tọa độ cực.
Câu 22.$f(x,y) = 3x^2 - 3y^2$. Tính $\|\nabla f(5, -2)\|^2$.
Câu 23.Tính $\iint_D x y \, dA$ với $D = [0, 20] \times [0, 10]$.
Câu 24.Cho $C$ là chu vi hình chữ nhật $[0,2] \times [0,3]$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Dùng định lý Green tính diện tích $A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$.
Câu 25.Một tấm phẳng chiếm miền $D = [0, 4] \times [0, 3]$ có mật độ khối lượng $\rho(x, y) = 6 x$. Tính khối lượng $M = \iint_D \rho\,dA$.
Câu 26.Tính $I = \iint_D x^2\,dA$ với $D = [0, 30] \times [0, 10]$.
Câu 27.$f(x, y) = 6x - 2y$, hướng $\vec u = (3/5, 4/5)$. Tính $D_{\vec u} f$.
Câu 28.Cho $f(x, y) = -4x^2 -3xy -6y^2 + 4x + 7y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial y}(-5, -6)$.