Đề tổng hợp - Giải tích 2 - đề 013 - năm 2026

Câu 1.Cho $f(x, y) = -2x^2 - 5xy -y^2 -7x -6y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(7, 2)$.

Câu 2.Tính tích phân đường $\int_C 10 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(4, 0)$.

Câu 3.Cho $f(x, y) = -5x - 7y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -3$, $dy = -6$.

Câu 4.Phép đổi biến $u = 3x - 4y$, $v = 4x - 7y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 5.Cho $f(x, y) = 2x - 5y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -1$, $dy = 4$.

Câu 6.Phép đổi biến $u = -x + y$, $v = -5x + 5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 7.Cho $f(x, y) = -7x^2 - 7xy - 6y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

Câu 8.Tính tích phân đường $\int_C -3 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(6, 0)$.

Câu 9.Cho $f(x, y) = -2x + y$. Tính vi phân toàn phần $df$ tại điểm bất kỳ khi $dx = -6$, $dy = 5$.

Câu 10.Phép đổi biến $u = -4x - 6y$, $v = -5y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 11.Cho $f(x, y) = -4x^2 - 3y^2$. Tính $\nabla f(-6, 5)$.

Câu 12.Tính tích phân đường $\int_C 1 \, ds$ với $C$ là đoạn thẳng từ điểm $(0, 0)$ đến điểm $(3, 0)$.

Câu 13.Phép đổi biến $u = x + 3y$, $v = 8x - 8y$. Tính định thức Jacobi $J = \partial(u, v)/\partial(x, y)$.

Câu 14.Cho $f(x, y) = -x^2 + 9xy - 4y^2$. Tính $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

Câu 15.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 7)^2 + (y + 6)^2 - 7$.

Câu 16.Cho $f(x, y) = -4x^2 + 3y^2$. Tính $\nabla f(2, -5)$.

Câu 17.Tính $\iint_D (-5 + 2x + 6y) \, dA$ với $D = [0, 2] \times [0, 6]$.

Câu 18.Cho $f(x, y) = -4x^2 + 2xy + y^2 -4x + 3y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial x}(3, 1)$.

Câu 19.Cho $f(x, y) = -7x - 9y$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec u = (\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5})$ (đã chuẩn hóa) tại mọi điểm.

Câu 20.Tìm điểm dừng (critical point) của hàm $f(x, y) = (x + 6)^2 + (y - 8)^2 - 1$.

Câu 21.$f(x,y) = -5x^2 + 3y^2$. Tính $\|\nabla f(7, 6)\|^2$.

Câu 22.Cho $C$ là đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(5,19)$. Tính độ dài cung $L = \int_C ds$.

Câu 23.Một lực hằng $\vec F = (-6,8)$ tác dụng trên chất điểm di chuyển theo đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(5,1)$. Tính công $W = \int_C \vec F \cdot d\vec r$.

Câu 24.Cho $C$ là chu vi hình chữ nhật $[0,5] \times [0,11]$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Dùng định lý Green tính diện tích $A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$.

Câu 25.Một tấm phẳng chiếm miền $D = [0, 10] \times [0, 6]$ có mật độ khối lượng $\rho(x, y) = 7 x$. Tính khối lượng $M = \iint_D \rho\,dA$.

Câu 26.$f(x, y) = (x + 5)^2 + (y + 7)^2 - 2$. Tìm $f_{min}$.

Câu 27.Cho $f(x, y) = 6x^2 + 2xy + 7y^2 -6x + 7y$. Tính $\dfrac{\partial f}{\partial y}(6, -3)$.

Câu 28.$f(x, y) = 10x - 10y$, hướng $\vec u = (4/5, 3/5)$. Tính $D_{\vec u} f$.