Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính - đề 014 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Tính chuẩn Euclid của vector $\vec v = (10, 15, 30)$.
Câu 2.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 3.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 3 & 3 & -7 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$.
Câu 4.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & 9 & 8 \\ -5 & 2 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 3, cột 1 của $A^T$.
Câu 5.Tính độ dài vector $\vec v = (-4, 4, -7)$.
Câu 6.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}$.
Câu 7.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & -5 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A^T$.
Câu 8.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}$.
Câu 9.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -6 & 7 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-8, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 10.Giải hệ phương trình $\begin{cases} x - 3y = 6 \\ 4x - 3y = -12 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 11.Cho $\vec u = (1, -5, 3)$ và $\vec v = (-8, -7, 8)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 12.Vector $\vec v = (0, -5, 12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 13.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 14.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$.
Câu 15.Cho $\vec u = (-8, -7, -7)$ và $\vec v = (2, -4, 0)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 16.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -8 & -9 \\ -5 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của tích $AB$.
Câu 17.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 18.Giải hệ $\begin{cases} 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = -15 \\ 2x_2 - 4x_3 = 12 \\ 3x_3 = -18 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 19.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 4 & -6 & 6 \\ 0 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Câu 20.Cho $\vec u = (-1, 1, -5)$, $\vec v = (4, 7, -4)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho $A = \begin{pmatrix} -8 & -7 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của $A + B$.
Câu 22.$\vec u = (1, -5, 3), \vec v = (-8, -7, 8)$. Tính phần tử thứ $1$ của $\vec u \times \vec v$.
Câu 23.Vector $\vec v = (-2, -5, 14)$ có độ dài bằng bao nhiêu?
Câu 24.Cho $A = \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$. Tìm các trị riêng của $A$ (đáp số dưới dạng $\dfrac{a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$).
Câu 25.Cho hai vector $\vec u = (4, -4, 2)$, $\vec v = (-1, -5, -5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 26.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$ (det = -1). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^{-1}$.
Câu 27.Tính $\det \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ bằng khai triển theo cột 2 (cột có nhiều phần tử bằng 0).
Câu 28.Cho hệ $\begin{cases} -x_1 + 4x_2 + 4x_3 = -6 \\ x_1 - 2x_3 = 4 \\ -3x_1 - x_3 = 6 \end{cases}$. Tìm $x_2$ theo quy tắc Cramer (phân số tối giản).