Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính - đề 008 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 9 & -7 \\ -1 & -6 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^T$.
Câu 2.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}$.
Câu 3.Cho $A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của $A + B$.
Câu 4.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 5.Cho $\vec u = (9, -7, 6)$ và $\vec v = (-1, -8, -9)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 6.Cho $\vec u = (-5, 9, -7)$ và $\vec v = (-1, -6, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 7.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 8.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (7, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 9.Cho $A = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ 7 & -7 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 10.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}$.
Câu 11.Cho $\vec v = (-2, -5, 14)$. Tính $\|\vec v\|$.
Câu 12.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 9 & -7 \\ -1 & -6 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^T$.
Câu 13.Cho $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 7 & -9 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -8 & -4 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của tích $AB$.
Câu 14.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$.
Câu 15.Tính chuẩn Euclid của vector $\vec v = (5, 0, 12)$.
Câu 16.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 17.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Câu 18.Giải hệ $\begin{cases} 4x_1 + 7x_2 - 5x_3 = 72 \\ 2x_2 - 6x_3 = 56 \\ x_3 = -8 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 19.Cho $\vec u = (2, -4, 4)$, $\vec v = (-7, -6, -5)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 20.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x - 7y = 23 \\ -x + 4y = -13 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Tính $\det \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 22.Vector $\vec v = (-1, 4, -8)$ có độ dài bằng bao nhiêu?
Câu 23.Cho $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 7 & -9 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -8 & -4 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A + B$.
Câu 24.Tính rank$(A)$ với $A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}$.
Câu 25.Tính $\det \begin{pmatrix} -1 & 6 & 0 \\ 5 & 4 & 6 \\ -6 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ bằng khai triển theo cột 3 (cột có nhiều phần tử bằng 0).
Câu 26.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx - 4y = 0 \\ 3x + 2y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).
Câu 27.Cho hai vector $\vec u = (-5, -4, -4)$, $\vec v = (0, -3, 5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 28.Cho $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$. Tìm các trị riêng của $A$ (đáp số dưới dạng $\dfrac{a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$).