Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính - đề 010 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho $\vec u = (-8, -7, -7)$ và $\vec v = (2, -4, 0)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 2.Cho $A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của $A + B$.
Câu 3.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 9 & -7 \\ -1 & -6 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^T$.
Câu 4.Vector $\vec v = (0, -5, 12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 5.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 6.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 7.Cho $\vec u = (-4, -6, 0)$, $\vec v = (-5, 7, 6)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 8.Tính chuẩn Euclid của vector $\vec v = (5, 0, 12)$.
Câu 9.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 10.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -6 & 7 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-8, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 11.Cho $A = \begin{pmatrix} -9 & -8 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -5 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 12.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 7 \\ -9 & 5 & -2 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 3, cột 1 của $A^T$.
Câu 13.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 14.Cho $\vec u = (-1, 2, 7)$ và $\vec v = (-9, 5, -2)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 15.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (7, 6)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 16.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} -7 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}$.
Câu 17.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 18.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 5x + 5y = 0 \\ -8x + 7y = -15 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 19.Cho $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -7 & -7 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của tích $AB$.
Câu 20.Giải hệ $\begin{cases} 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = -15 \\ 2x_2 - 4x_3 = 12 \\ 3x_3 = -18 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho hai vector $\vec u = (4, -1, 0)$, $\vec v = (5, 3, -5)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 22.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx - 5y = 0 \\ 3x + 7y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).
Câu 23.Cho $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$ (det = 1). Tính phần tử ở hàng 2, cột 1 của $A^{-1}$.
Câu 24.Tính $\det \begin{pmatrix} -5 & 2 & 6 \\ 5 & 5 & -6 \\ -3 & -6 & 0 \end{pmatrix}$.
Câu 25.Tính rank$(A)$ với $A = \begin{pmatrix} 7 & 7 & -5 \\ 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 26.$\vec u = (-2, 9, 8), \vec v = (-5, 2, 6)$. Tính phần tử thứ $3$ của $\vec u \times \vec v$.
Câu 27.Cho hệ $\begin{cases} -4x_1 - 3x_2 - 3x_3 = 3 \\ x_1 - 2x_2 = 4 \\ -x_2 - 4x_3 = -4 \end{cases}$. Tìm $x_2$ theo quy tắc Cramer (phân số tối giản).
Câu 28.Cho $A = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$. Tìm các trị riêng của $A$ (đáp số dưới dạng $\dfrac{a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$).