Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính - đề 009 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (7, 6)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 2.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}$.
Câu 3.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 4.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 5.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -8 & -6 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 6.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$.
Câu 7.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 8.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 9.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-6, -8)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 10.Vector $\vec v = (1, -12, -12) \in \mathbb{R}^3$ có độ dài là bao nhiêu?
Câu 11.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -1 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}$.
Câu 12.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & -5 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A^T$.
Câu 13.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 14.Cho $\vec u = (-2, 9, 8)$ và $\vec v = (-5, 2, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 15.Cho $\vec u = (-1, -4, 3)$, $\vec v = (7, -6, -8)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 16.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 5x + 5y = 0 \\ -8x + 7y = -15 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Câu 17.Giải hệ $\begin{cases} x_1 + 3x_3 = -1 \\ 4x_2 - x_3 = -25 \\ 4x_3 = 4 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 18.Cho $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 19.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -8 & -9 \\ -5 & 9 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của tích $AB$.
Câu 20.Cho $\vec u = (-6, 7, 0)$, $\vec v = (-7, -8, -4)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho $\vec u = (-3, -1, -7)$, $\vec v = (2, 5, -6)$. Tính $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 22.$A = \begin{pmatrix} -5 & 9 \\ -7 & -1 \end{pmatrix}, \vec v = (-6, 6)$. Tính phần tử thứ $2$ của $A \vec v$.
Câu 23.Giải hệ $\begin{cases} 2x_1 + 7x_2 + 2x_3 = -72 \\ 3x_2 = -24 \\ 5x_3 = -10 \end{cases}$. Tính $x_3$.
Câu 24.Cho $A = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Viết đa thức đặc trưng $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ dưới dạng đa thức bậc 2 theo $\lambda$ (hệ số cao nhất bằng 1).
Câu 25.Tính rank$(A)$ với $A = \begin{pmatrix} 7 & 7 & -5 \\ 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 26.Cho hai vector $\vec u = (-3, 4, -4)$, $\vec v = (-1, -4, 2)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính $\cos \theta$ với $\theta$ là góc giữa $\vec u$ và $\vec v$ (giữ dạng phân số chứa căn rút gọn).
Câu 27.Tính $\det \begin{pmatrix} 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ bằng khai triển theo cột 1 (cột có nhiều phần tử bằng 0).
Câu 28.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx + 7y = 0 \\ 7x - 7y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).