Đề tổng hợp - Đại số tuyến tính - đề 013 - năm 2026
Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(20 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 9 & -7 \\ -1 & -6 & 6 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 2, cột 2 của $A^T$.
Câu 2.Cho $\vec u = (-5, 9, -7)$ và $\vec v = (-1, -6, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 3.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 4.Tính chuẩn Euclid của vector $\vec v = (5, 0, 12)$.
Câu 5.Cho $\vec u = (-5, 9, -7)$ và $\vec v = (-1, -6, 6)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 6.Cho phép biến đổi $T(\vec v) = A \vec v$ với $A = \begin{pmatrix} -6 & 7 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$ và $\vec v = (-8, -4)$. Tính $T(\vec v)$.
Câu 7.Tìm tập các trị riêng của ma trận $A = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$.
Câu 8.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ với $\det A = 1$. Tìm $A^{-1}$.
Câu 9.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Câu 10.Cho $A = \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A - B$.
Câu 11.Tính độ dài vector $\vec v = (-4, 4, -7)$.
Câu 12.Cho $\vec u = (1, -5, 3)$ và $\vec v = (-8, -7, 8)$ trong $\mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 13.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$.
Câu 14.Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 7 \\ -9 & 5 & -2 \end{pmatrix}$ (kích thước $2 \times 3$). Tính phần tử ở hàng 3, cột 1 của $A^T$.
Câu 15.Tính định thức $\det \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$.
Câu 16.Cho $\vec u = (-7, -6, -6)$, $\vec v = (3, -3, 1)$. Tính tích có hướng $\vec u \times \vec v$.
Câu 17.Cho $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 7 & -9 \end{pmatrix}$ và $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -8 & -4 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 2 của tích $AB$.
Câu 18.Giải hệ $\begin{cases} x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 21 \\ x_2 - 7x_3 = -39 \\ x_3 = 5 \end{cases}$. Tính $x_1$.
Câu 19.Tính hạng (rank) của ma trận $A = \begin{pmatrix} 4 & -6 & 6 \\ 0 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Câu 20.Giải hệ phương trình $\begin{cases} -7x - 6y = 9 \\ -6x + 4y = 26 \end{cases}$. Giá trị $x$ bằng:
Phần III. Tự luận(8 câu)
Thí sinh trả lời từ câu 21 đến câu 28. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 21.Cho $A = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -8 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -7 & 8 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$. Tính phần tử ở hàng 1, cột 1 của $A + B$.
Câu 22.Tìm tất cả giá trị $m$ để hệ thuần nhất $\begin{cases} mx - 5y = 0 \\ 3x + 7y = 0 \end{cases}$ có nghiệm không tầm thường (tức tồn tại $(x, y) \ne (0, 0)$).
Câu 23.Cho $\vec u = (-6, 8, -8)$, $\vec v = (-2, -7, 5)$. Tính $\vec u \cdot \vec v$.
Câu 24.$\vec u = (9, -7, 6), \vec v = (-1, -8, -9)$. Tính phần tử thứ $1$ của $\vec u \times \vec v$.
Câu 25.Cho $A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$. Tính phần tử $(AB)_{11}$.
Câu 26.Cho $A = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Tìm các trị riêng của $A$ (đáp số dưới dạng $\dfrac{a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$).
Câu 27.Tính hạng (rank) của ma trận hệ số $A = \begin{pmatrix} -6 & -5 & -5 \\ -1 & -4 & 5 \\ 6 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ của một hệ phương trình.
Câu 28.Tính $\det \begin{pmatrix} 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ bằng khai triển theo cột 1 (cột có nhiều phần tử bằng 0).